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2015河北公務(wù)員考試行測指導(dǎo):方陣問題
http://www.xiangyangzhi.com 2014-10-27 來源：河北公務(wù)員考試網(wǎng)
一、考情分析
通過近幾年的省考來看，方陣問題雖然并不像行程問題、利潤問題那樣年年都會考查。但是作為公務(wù)員考試的一個?？贾R點(diǎn)，大家還是應(yīng)該對其引起重視，尤其近兩年常會碰到的方陣的轉(zhuǎn)換及變形，以及空心方陣問題都有一定難度，需要大家熟記方陣問題的公式。
二、基礎(chǔ)知識
1.題型簡介
方陣問題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中一類常見的數(shù)學(xué)問題，是許多人或物按一定的條件排成正方形（簡稱方陣），再根據(jù)排成的方陣，找出規(guī)律，尋求解決問題的方案。
2.概念區(qū)分
行：排隊(duì)時，橫著排叫做行。
列：排隊(duì)時，豎著排叫做列。
實(shí)心方陣：中心區(qū)域沒有空缺，叫實(shí)心方陣。
如圖1是實(shí)心方陣。
偶數(shù)型實(shí)心方陣：如圖3方陣每行每列都為偶數(shù)，叫偶數(shù)型實(shí)心方陣，其幾何中心不存在元素，其中心區(qū)域由4個元素構(gòu)成。
3.方陣問題的基本概念
（1）方陣不管在哪一層，每邊人的數(shù)量都相同，每向里面一層，每邊的數(shù)就減少2。
（2）方陣每相鄰兩層之間的總?cè)藬?shù)都相差8。
4.解題思路
在解決方陣問題時，首先應(yīng)該準(zhǔn)確判斷方陣的類型，要搞清方陣中的一些量（如層數(shù)、最外層人數(shù)、最里層人數(shù)、總?cè)藬?shù)）之間的關(guān)系。解題時要開動腦筋，運(yùn)用相關(guān)公式，用多種方法來解題。
三、方陣問題考點(diǎn)精講
（一）實(shí)心方陣
?。?）方陣總?cè)藬?shù)=方陣最外層每邊人數(shù)的平方
?。?）方陣每層總?cè)藬?shù)=方陣每層每邊人數(shù)×4-4
（3）方陣每層每邊人數(shù)=（方陣每層總?cè)藬?shù)+4）÷4
?。?）奇數(shù)型實(shí)心方陣的最外層每邊人數(shù)=2×層數(shù)-1
偶數(shù)型實(shí)心方陣的最外層每邊人數(shù)=2×層數(shù)
例題1：在一次閱兵式上，某軍排成了30人一行的正方形方陣接受檢閱。最外兩層共有多少人？
A.900 B.224 C.300 D.216
【答案詳解】根據(jù)題意可知，閱兵方陣為實(shí)心方陣。
最外層每邊30人，則最外層總?cè)藬?shù)為30×4-4=116人；
根據(jù)相鄰兩層相差為8人可知，次外層總?cè)藬?shù)為116-8=108人；
最外兩層共有116＋108=224人。
提示：（1）在方陣中若去掉一行一列，去掉的人數(shù)=原來每行人數(shù)×2-1；
?。?）在方陣中若去掉二行二列，去掉的人數(shù)=原來每行人數(shù)×4-2×2。
?。ǘ┛招姆疥?br />
根據(jù)“相鄰兩層的人數(shù)相差為 8”，即以方陣最外層人數(shù)為首項(xiàng)，依次向里，組成一個公差為-8 的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式可得：
方陣總?cè)藬?shù)=層數(shù)×最外層總?cè)藬?shù)-（層數(shù)-1）×層數(shù)÷2×8=層數(shù)×最外層總?cè)藬?shù)-（層數(shù)-1）×層數(shù)×4
方陣總?cè)藬?shù)=層數(shù)×最內(nèi)層總?cè)藬?shù)+（層數(shù)-1）×層數(shù)÷2×8=層數(shù)×最內(nèi)層總?cè)藬?shù)+（層數(shù)-1）×層數(shù)×4
公式不需要直接記憶，只要記住每一層的人數(shù)能夠組成一個公差為-8的等差數(shù)列就可以了。
例題2：有一隊(duì)士兵排成若干層的中空方陣，外層人數(shù)共有60人，中間一層共44人，則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是：
A.156人 B.210人 C.220人 D.280人
【答案詳解】方法一，根據(jù)“相鄰兩層人數(shù)相差為8”，結(jié)合“外層人數(shù)共有60人，中間一層共44人”，可知這個方陣從外到內(nèi)每層人數(shù)依次是60、52、44、36、28，所以該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是60+52+44+36+28=220人。
方法二，最外層到中間一層相差（60-44）÷8=2層，即中間一層是第3層，一共有5層，則總?cè)藬?shù)是5×44=220人。
?。ㄈ┓疥嚾藬?shù)增減
例題3：體育課學(xué)生排成一個方陣，最外層的人數(shù)為60人，如要在方陣最外層增加一層，則增加后最外層每邊有多少人？
A.15 B.16 C.18 D.20
【答案詳解】增加前最外層人數(shù)為60人，則最外邊每邊人數(shù)為（60+4）÷4=16，增加一層后最外層每邊人數(shù)為16+2=18人。
?。ㄋ模┓疥囍嘏?br />
例題4：五年級學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽，他們排成甲、乙兩個實(shí)心方陣，其中甲方陣最外層每邊的人數(shù)為8。如果兩隊(duì)合并，可以另排成一個空心的 丙方陣，丙方陣最外層每邊的人數(shù)比乙方陣最外層每邊的人數(shù)多4人，且甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心。五年級參加廣播操比賽的一共有多少人？
A.200 B.236 C.260 D.288
【答案詳解】空心的丙方陣人數(shù)=甲方陣人數(shù)+乙方陣人數(shù)，若丙方陣為實(shí)心的，那么實(shí)心的丙方陣人數(shù)=2×甲方陣人數(shù)+乙方陣人數(shù)，即實(shí)心丙方陣比乙方陣多8×8×2=128人。
丙方陣最外層每邊比乙方陣多4人，則丙方陣最外層總?cè)藬?shù)比乙方陣多4×4=16人，即多了16÷8=2層。這兩層的人數(shù)即實(shí)心丙方陣比乙方陣多的 128人，則丙方陣最外層人數(shù)為（128+8）÷2=68人，則丙方陣最外層每邊人數(shù)為（68+4）÷4=18人。那么，共有18×18-8×8=260 人。
（五）方陣問題與其他問題相結(jié)合
例題5：某部隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成了一個6行、8列的長方陣。現(xiàn)在要求各行從左至右１，２，１，２，１，２，１，２報(bào)數(shù)，再各列從前到后１，２，３，１，２，３報(bào)數(shù)。問在兩次報(bào)數(shù)中，所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有：
A.18個 B.24個 C.32個 D.36個
【答案詳解】此題可畫出直觀圖進(jìn)行解答。當(dāng)從左至右報(bào)1時，從前至后報(bào)2的有8人，報(bào)3的也有8人；當(dāng)從左至右報(bào)2時，同理可得，從前至后報(bào)1的有8人，報(bào)3的也有8人，即所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有32人。故選C。
四、核心要點(diǎn)
1.方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）
2.方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4）＋1
3.方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多2
通過近幾年的省考來看，方陣問題雖然并不像行程問題、利潤問題那樣年年都會考查。但是作為公務(wù)員考試的一個?？贾R點(diǎn)，大家還是應(yīng)該對其引起重視，尤其近兩年常會碰到的方陣的轉(zhuǎn)換及變形，以及空心方陣問題都有一定難度，需要大家熟記方陣問題的公式。
二、基礎(chǔ)知識
1.題型簡介
方陣問題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中一類常見的數(shù)學(xué)問題，是許多人或物按一定的條件排成正方形（簡稱方陣），再根據(jù)排成的方陣，找出規(guī)律，尋求解決問題的方案。
2.概念區(qū)分
行：排隊(duì)時，橫著排叫做行。
列：排隊(duì)時，豎著排叫做列。
實(shí)心方陣：中心區(qū)域沒有空缺，叫實(shí)心方陣。
如圖1是實(shí)心方陣。
奇數(shù)型實(shí)心方陣：如圖2方陣每行每列都為奇數(shù)，叫奇數(shù)型實(shí)心方陣，其幾何中心恰好存在一個元素。
偶數(shù)型實(shí)心方陣：如圖3方陣每行每列都為偶數(shù)，叫偶數(shù)型實(shí)心方陣，其幾何中心不存在元素，其中心區(qū)域由4個元素構(gòu)成。
空心方陣：中心區(qū)域有空缺，叫空心方陣。
如圖4是一層的空心方陣，圖5是二層的空心方陣。
3.方陣問題的基本概念
（1）方陣不管在哪一層，每邊人的數(shù)量都相同，每向里面一層，每邊的數(shù)就減少2。
（2）方陣每相鄰兩層之間的總?cè)藬?shù)都相差8。
4.解題思路
在解決方陣問題時，首先應(yīng)該準(zhǔn)確判斷方陣的類型，要搞清方陣中的一些量（如層數(shù)、最外層人數(shù)、最里層人數(shù)、總?cè)藬?shù)）之間的關(guān)系。解題時要開動腦筋，運(yùn)用相關(guān)公式，用多種方法來解題。
三、方陣問題考點(diǎn)精講
（一）實(shí)心方陣
?。?）方陣總?cè)藬?shù)=方陣最外層每邊人數(shù)的平方
?。?）方陣每層總?cè)藬?shù)=方陣每層每邊人數(shù)×4-4
（3）方陣每層每邊人數(shù)=（方陣每層總?cè)藬?shù)+4）÷4
?。?）奇數(shù)型實(shí)心方陣的最外層每邊人數(shù)=2×層數(shù)-1
偶數(shù)型實(shí)心方陣的最外層每邊人數(shù)=2×層數(shù)
例題1：在一次閱兵式上，某軍排成了30人一行的正方形方陣接受檢閱。最外兩層共有多少人？
A.900 B.224 C.300 D.216
【答案詳解】根據(jù)題意可知，閱兵方陣為實(shí)心方陣。
最外層每邊30人，則最外層總?cè)藬?shù)為30×4-4=116人；
根據(jù)相鄰兩層相差為8人可知，次外層總?cè)藬?shù)為116-8=108人；
最外兩層共有116＋108=224人。
提示：（1）在方陣中若去掉一行一列，去掉的人數(shù)=原來每行人數(shù)×2-1；
?。?）在方陣中若去掉二行二列，去掉的人數(shù)=原來每行人數(shù)×4-2×2。
?。ǘ┛招姆疥?br />
根據(jù)“相鄰兩層的人數(shù)相差為 8”，即以方陣最外層人數(shù)為首項(xiàng)，依次向里，組成一個公差為-8 的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式可得：
方陣總?cè)藬?shù)=層數(shù)×最外層總?cè)藬?shù)-（層數(shù)-1）×層數(shù)÷2×8=層數(shù)×最外層總?cè)藬?shù)-（層數(shù)-1）×層數(shù)×4
方陣總?cè)藬?shù)=層數(shù)×最內(nèi)層總?cè)藬?shù)+（層數(shù)-1）×層數(shù)÷2×8=層數(shù)×最內(nèi)層總?cè)藬?shù)+（層數(shù)-1）×層數(shù)×4
公式不需要直接記憶，只要記住每一層的人數(shù)能夠組成一個公差為-8的等差數(shù)列就可以了。
例題2：有一隊(duì)士兵排成若干層的中空方陣，外層人數(shù)共有60人，中間一層共44人，則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是：
A.156人 B.210人 C.220人 D.280人
【答案詳解】方法一，根據(jù)“相鄰兩層人數(shù)相差為8”，結(jié)合“外層人數(shù)共有60人，中間一層共44人”，可知這個方陣從外到內(nèi)每層人數(shù)依次是60、52、44、36、28，所以該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是60+52+44+36+28=220人。
方法二，最外層到中間一層相差（60-44）÷8=2層，即中間一層是第3層，一共有5層，則總?cè)藬?shù)是5×44=220人。
?。ㄈ┓疥嚾藬?shù)增減
例題3：體育課學(xué)生排成一個方陣，最外層的人數(shù)為60人，如要在方陣最外層增加一層，則增加后最外層每邊有多少人？
A.15 B.16 C.18 D.20
【答案詳解】增加前最外層人數(shù)為60人，則最外邊每邊人數(shù)為（60+4）÷4=16，增加一層后最外層每邊人數(shù)為16+2=18人。
?。ㄋ模┓疥囍嘏?br />
例題4：五年級學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽，他們排成甲、乙兩個實(shí)心方陣，其中甲方陣最外層每邊的人數(shù)為8。如果兩隊(duì)合并，可以另排成一個空心的 丙方陣，丙方陣最外層每邊的人數(shù)比乙方陣最外層每邊的人數(shù)多4人，且甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心。五年級參加廣播操比賽的一共有多少人？
A.200 B.236 C.260 D.288
【答案詳解】空心的丙方陣人數(shù)=甲方陣人數(shù)+乙方陣人數(shù)，若丙方陣為實(shí)心的，那么實(shí)心的丙方陣人數(shù)=2×甲方陣人數(shù)+乙方陣人數(shù)，即實(shí)心丙方陣比乙方陣多8×8×2=128人。
丙方陣最外層每邊比乙方陣多4人，則丙方陣最外層總?cè)藬?shù)比乙方陣多4×4=16人，即多了16÷8=2層。這兩層的人數(shù)即實(shí)心丙方陣比乙方陣多的 128人，則丙方陣最外層人數(shù)為（128+8）÷2=68人，則丙方陣最外層每邊人數(shù)為（68+4）÷4=18人。那么，共有18×18-8×8=260 人。
（五）方陣問題與其他問題相結(jié)合
例題5：某部隊(duì)?wèi)?zhàn)士排成了一個6行、8列的長方陣。現(xiàn)在要求各行從左至右１，２，１，２，１，２，１，２報(bào)數(shù)，再各列從前到后１，２，３，１，２，３報(bào)數(shù)。問在兩次報(bào)數(shù)中，所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有：
A.18個 B.24個 C.32個 D.36個
【答案詳解】此題可畫出直觀圖進(jìn)行解答。當(dāng)從左至右報(bào)1時，從前至后報(bào)2的有8人，報(bào)3的也有8人；當(dāng)從左至右報(bào)2時，同理可得，從前至后報(bào)1的有8人，報(bào)3的也有8人，即所報(bào)數(shù)字不同的戰(zhàn)士有32人。故選C。
四、核心要點(diǎn)
1.方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）
2.方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4）＋1
3.方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多2
4.去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù)×2－1
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